Question

Solve simultaneous equation dx/dt=3x+5y , dy/dt=-x-y , x=5 , y=-3...


Solve simultaneous equation dx/dt=3x+5y , dy/dt=-x-y , x=5 , y=-3

Answer

We need to solve the given simultaneous equations,

dxdt=3x+5ydydt=-x-y

at x=5, y=-3

Let,  ddt=D

Thus the equation transforms to:

dxdt=3x+5yDx=3x+5yDx-3x-5y=0D-3x-5y=0                    ---1

dydt=-x-yDy=-x-yx+Dy+y=0x+D+1y=0                    ---2

Solving equation 1, we get

D-3x-5y=0x=5yD-3   

By substituting the value of x in equation 2, we get

     x+D+1y=05yD-3+D+1y=05y+D-3D+1y=05y+D2-2D-3y=0D2-2D-3+5y=0D2-2D+2y=0y''t-2y't+2yt=0

Auxilliary equation for above differential equation is: m2-2m+2=0m=--2±-22-41221=2±-42m=1±i

y(t)=(C1sint+C2cost)et

Using equation 2, we can write,

x=-dydt-y                       ---3

We have, 

yt=C1sint+C2costet

dydt=ddtC1sint+C2costetdydt=etddtC1sint+C2cost+C1sint+C2costddtetdydt=C1cost-C2sintet+C1sint+C2costetdydt=C1cost+sint+C2cost-sintet

substituting the value of y and dydt in equation 3, we get

x=-C1cost+sint+C2cost-sintet-C1sint+C2costetx(t)=-(C1cost+2sint+C22cost-sint)et

We have obtained xt and yt.NOTE: We are given the initial condition as x=5,y=-3. But we would need these x and y value at a particular value of t in order to find the value of constants C1 and C2.

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